-÷итатник

ќвс€ное печенье за 15 минут - (0)

 улинари€>ќвс€ное печенье за 15 минут ...

 нопка WIN на клавиатуре Ч где находитс€ и зачем нужна - (0)

 нопка WIN на клавиатуре Ч где находитс€ и зачем нужна.  лавиша Win на клавиатуре — этот те...

–амочка "Ћисть€ кружатс€, лет€т..." - (0)

–амочка "Ћисть€ кружатс€, лет€т..." «десь будет ваш текст... «десь будет ваш текст...

ћо€ осень... 🍂 - (0)

ћо€ осень... 🍂 ***«десь будет текст*** ***«десь будет текс...

—частливой осени! - (2)

—частливой осени! Ќе грусти, что настала осень. „то дн€м летним окончен счЄт. ѕосмо...

 -ѕоиск по дневнику

ѕоиск сообщений в MISTER_MIGELL

 -ѕодписка по e-mail

 

 -»нтересы

любопытный

 -—татистика

—татистика LiveInternet.ru: показано количество хитов и посетителей
—оздан: 10.02.2009
«аписей: 15945
 омментариев: 329980
Ќаписано: 386831



4 парадокса теории веро€тности

¬торник, 24 Ќо€бр€ 2015 г. 10:14 + в цитатник

3085196_r2_cs14110_vk_me_qNuIuMcLaXA_8bb2075b (604x329, 27Kb)

«—уществуют три вида лжи: ложь, нагла€ ложь и статистика». Ёта фраза, приписанна€ ћарком “веном премьер-министру ¬еликобритании Ѕенджамину ƒизраэли, неплохо отражает отношение большинства к математическим закономерност€м.

ƒействительно, теори€ веро€тностей порой подкидывает удивительные факты, в которые сложно поверить с первого взгл€да — и которые, тем не менее, подтверждены наукой.
ѕроблема ћонти ’олла
»менно эту задачу в фильме «ƒвадцать одно» предложил студентам хитрый профессор MIT. ƒав верный ответ, главный герой попадает в команду блест€щих молодых математиков, обыгрывающих казино в Ћас-¬егасе. 
 лассическа€ формулировка звучит так: «ƒопустим, некоему игроку предложили поучаствовать в известном американском телешоу Let’s Make a Deal, которое ведет ћонти ’олл, и ему необходимо выбрать одну из трех дверей. «а двум€ дверьми наход€тс€ козы, за одной — главный приз, автомобиль, ведущий знает расположение призов. ѕосле того, как игрок делает свой выбор, ведущий открывает одну из оставшихс€ дверей, за которой находитс€ коза, и предлагает игроку изменить свое решение. —тоит ли игроку согласитьс€ или лучше сохранить свой первоначальный выбор?» 
¬от типичный ход рассуждений: после того, как ведущий открыл одну из дверей и показал козу, игроку остаетс€ выбрать между двум€ двер€ми. ћашина находитс€ за одной из них, значит, веро€тность ее угадать составл€ет ½. “ак что нет разницы — мен€ть свой выбор или нет. », тем не менее, теори€ веро€тностей гласит, что можно увеличить свои шансы на выигрыш, изменив решение. –азберемс€, почему это так. 
ƒл€ этого вернемс€ на шаг назад. ¬ тот момент, когда мы сделали свой изначальный выбор, мы разделили двери на две части: выбранна€ нами и две остальные. ќчевидно, что веро€тность того, что автомобиль пр€четс€ за «нашей» дверью, составл€ет ⅓ — соответственно, автомобиль находитс€ за одной из двух оставшихс€ дверей с веро€тностью ⅔.  огда ведущий показывает, что за одной из этих дверей — коза, получаетс€, что эти ⅔ шанса приход€тс€ на вторую дверь. ј это сводит выбор игрока к двум двер€м, за одной из которых (изначально выбранной) автомобиль находитс€ с веро€тностью ⅓, а за другой — с веро€тностью ⅔. ¬ыбор становитс€ очевидным. „то, разумеетс€, не отмен€ет того факта, что с самого начала игрок мог выбрать дверь с автомобилем. 
«адача трех узников
ѕарадокс трех узников схож с проблемой ћонти ’олла, хот€ действие разворачиваетс€ в более драматических услови€х. “рое заключенных (ј, Ѕ и ¬) приговорены к смертной казни и помещены в одиночные камеры. √убернатор случайным образом выбирает одного из них и дает ему помилование. Ќадзиратель знает, кто из троих помилован, но ему велено держать это в тайне. ”зник A просит стражника сказать ему им€ второго заключенного (кроме него самого), который точно будет казнен: «если Ѕ помилован, скажи мне, что казнен будет ¬. ≈сли помилован ¬, скажи мне, что казнен будет Ѕ. ≈сли они оба будут казнены, а помилован €, подбрось монету, и скажи любое из этих двух имен». Ќадзиратель говорит, что будет казнен узник Ѕ. —тоит ли радоватьс€ узнику ј? 
 азалось бы, да. ¬едь до получени€ этой информации веро€тность смерти узника ј составл€ла ⅔, а теперь он знает, что один из двух других узников будет казнен — значит, веро€тность его казни снизилась до ½. Ќо на самом деле узник ј не узнал ничего нового: если помилован не он, ему назовут им€ другого узника, а он и так знал, что кого-то из двоих оставшихс€ казн€т. ≈сли же ему повезло, и казнь отменили, он услышит случайное им€ Ѕ или ¬. ѕоэтому его шансы на спасение никак не изменились. 
ј теперь представим, что кто-то из оставшихс€ узников узнает о вопросе узника ј и полученном ответе. Ёто изменит его представлени€ о веро€тности помиловани€. 
≈сли разговор подслушал узник Ѕ, он узнает, что его точно казн€т. ј если узник ¬, то веро€тность его помиловани€ будет составл€ть ⅔. ѕочему так произошло? ”зник ј не получил никакой информации, и его шансы на помилование по-прежнему ⅓. ”зник Ѕ точно не будет помилован, и его шансы равны нулю. «начит, веро€тность того, что на свободу выйдет третий узник, равна ⅔. 
ѕарадокс двух конвертов
Ётот парадокс стал известен благодар€ математику ћартину √арднеру, и формулируетс€ следующим образом: «ѕредположим, вам с другом предложили два конверта, в одном из которых лежит нека€ сумма денег X, а в другом — сумма вдвое больше. ¬ы независимо друг от друга вскрываете конверты, пересчитываете деньги, после чего можете обмен€тьс€ ими.  онверты одинаковые, поэтому веро€тность того, что вам достанетс€ конверт с меньшей суммой, составл€ет ½. ƒопустим, вы открыли конверт и обнаружили в нем $10. —ледовательно, в конверте вашего друга может быть равноверо€тно $5 или $20. ≈сли вы решаетесь на обмен, то можно подсчитать математическое ожидание итоговой суммы — то есть, ее среднее значение. ќна составл€ет 1/2х$5+1/2×20=$12,5. “аким образом, обмен вам выгоден. », скорее всего, ваш друг будет рассуждать точно так же. Ќо очевидно, что обмен не может быть выгоден вам обоим. ¬ чем же ошибка?» 
ѕарадокс заключаетс€ в том, что пока вы не вскрыли свой конверт, веро€тности ведут себ€ добропор€дочно: у вас действительно 50-процентный шанс обнаружить в своем конверте сумму X и 50-процентный — сумму 2X. » здравый смысл подсказывает, что информаци€ об имеющейс€ у вас сумме не может повли€ть на содержимое второго конверта. 
“ем не менее, как только вы вскрываете конверт, ситуаци€ кардинально мен€етс€ (этот парадокс чем-то похож на историю с котом Ўредингера, где само наличие наблюдател€ вли€ет на положение дел). ƒело в том, что дл€ соблюдени€ условий парадокса веро€тность нахождени€ во втором конверте большей или меньшей суммы, чем у вас, должна быть одинаковой. Ќо тогда равноверо€тно любое значение этой суммы от нул€ до бесконечности. ј если равноверо€тно бесконечное число возможностей, в сумме они дают бесконечность. ј это невозможно. 
ƒл€ нагл€дности можно представить, что вы обнаруживаете в своем конверте один цент. ќчевидно, что во втором конверте не может быть суммы вдвое меньше. 
Ћюбопытно, что дискуссии относительно разрешени€ парадокса продолжаютс€ и в насто€щее врем€. ѕри этом предпринимаютс€ попытки, как объ€снить парадокс изнутри, так и выработать наилучшую стратегию поведени€ в подобной ситуации. ¬ частности, профессор “омас  авер предложил оригинальный подход к формированию стратегии — мен€ть или не мен€ть конверт, руководству€сь неким интуитивным ожиданием. —кажем, если вы открыли конверт и обнаружили в нем $10 — небольшую сумму по вашим прикидкам — стоит его обмен€ть. ј если в конверте, скажем, $1 000, что превосходит ваши самые смелые ожидани€, то мен€тьс€ не надо. Ёта интуитивна€ стратеги€ в случае, если вам регул€рно предлагают выбирать два конверта, дает возможность увеличить суммарный выигрыш больше, чем стратеги€ посто€нной смены конвертов. 
ѕарадокс мальчика и девочки
Ётот парадокс был также предложен ћартином √арднером и формулируетс€ так: «” мистера —мита двое детей. ’от€ бы один ребенок — мальчик.  акова веро€тность того, что и второй — тоже мальчик?» 
 азалось бы, задача проста. ќднако если начать разбиратьс€, обнаруживаетс€ любопытное обсто€тельство: правильный ответ будет отличатьс€ в зависимости от того, каким образом мы будем подсчитывать веро€тность пола другого ребенка. 
¬ариант 1 
–ассмотрим все возможные комбинации в семь€х с двум€ детьми: 
1. ƒевочка/ƒевочка
2. ƒевочка/ћальчик
3. ћальчик/ƒевочка
4. ћальчик/ћальчик
¬ариант девочка/девочка нам не подходит по услови€м задачи. ѕоэтому дл€ семьи мистера —мита возможны три равноверо€тных варианта — а значит, веро€тность того, что другой ребенок тоже окажетс€ мальчиком, составл€ет ⅓. »менно такой ответ и давал сам √арднер первоначально. 
¬ариант 2 
ѕредставим, что мы встречаем мистера —мита на улице, когда он гул€ет с сыном.  акова веро€тность того, что второй ребенок — тоже мальчик? ѕоскольку пол второго ребенка никак не зависит от пола первого, очевидным (и правильным) ответом €вл€етс€ ½. 
ѕочему так происходит, ведь, казалось бы, ничего не изменилось? 
¬се зависит от того, как мы подходим к вопросу подсчета веро€тности. ¬ первом случае мы рассматривали все возможные варианты семьи —мита. ¬о втором — мы рассматривали все семьи, подпадающие под об€зательное условие «должен быть один мальчик». –асчет веро€тности пола второго ребенка велс€ с этим условием (в теории веро€тностей это называетс€ «условна€ веро€тность»), что и привело к результату, отличному от первого.

ћетки:  


ѕроцитировано 2 раз
ѕонравилось: 23 пользовател€м